Produit scalaire — Démarrage (Niveau 1)
Calcul de ⃗u·⃗v par coordonnées et calcul de la norme |⃗u| (triplets pythagoriciens).
10 questions dynamiques tirées au sort à chaque partie.
📖 Produit scalaire — l'essentiel — révise avant de jouer
Définition
Pour deux vecteurs ⃗u et ⃗v non nuls dont l'angle est θ ∈ [0 ; π] : ⃗u · ⃗v = |⃗u| × |⃗v| × cos(θ).
En repère orthonormé, si ⃗u (x ; y) et ⃗v (x' ; y') alors : ⃗u · ⃗v = xx' + yy'.
Carré scalaire et norme
Pour tout vecteur ⃗u : ⃗u · ⃗u = |⃗u|².
En coordonnées : |⃗u| = √(x² + y²).
Propriétés
Pour tous vecteurs ⃗u, ⃗v, ⃗w et tout réel k : - Symétrie : ⃗u · ⃗v = ⃗v · ⃗u - Bilinéarité : (k⃗u) · ⃗v = k(⃗u · ⃗v) et (⃗u + ⃗v) · ⃗w = ⃗u · ⃗w + ⃗v · ⃗w
Orthogonalité
⃗u et ⃗v sont orthogonaux ⇔ ⃗u · ⃗v = 0.
Identités remarquables vectorielles
- |⃗u + ⃗v|² = |⃗u|² + 2 ⃗u · ⃗v + |⃗v|²
- |⃗u − ⃗v|² = |⃗u|² − 2 ⃗u · ⃗v + |⃗v|²
- (⃗u + ⃗v) · (⃗u − ⃗v) = |⃗u|² − |⃗v|²
Théorème d'Al-Kashi
Dans un triangle ABC, en notant a = BC, b = AC, c = AB et les angles aux sommets correspondants :
a² = b² + c² − 2 b c · cos(Â)
C'est la généralisation du théorème de Pythagore (cas  = π/2 → cos = 0).
Exemple
⃗u (3 ; −2) et ⃗v (4 ; 6) en repère orthonormé. - Produit scalaire : ⃗u · ⃗v = 3×4 + (−2)×6 = 12 − 12 = 0. - Donc ⃗u et ⃗v sont orthogonaux. - |⃗u| = √(9 + 4) = √13, |⃗v| = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
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