Produit scalaire — Cours & Compréhension
10 QCM pour vérifier que tu maîtrises les définitions, les propriétés, l'orthogonalité, les identités vectorielles et Al-Kashi.
Lis bien chaque énoncé. Les vecteurs sont supposés en repère orthonormé.
📖 Produit scalaire — l'essentiel — révise avant de jouer
Définition
Pour deux vecteurs u et v non nuls dont l'angle est θ ∈ [0 ; π] : u · v = |u| × |v| × cos(θ).
En repère orthonormé, si u (x ; y) et v (x' ; y') alors : u · v = xx' + yy'.
Carré scalaire et norme
Pour tout vecteur u : u · u = |u|².
En coordonnées : |u| = √(x² + y²).
Propriétés
Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel k : - Symétrie : u · v = v · u - Bilinéarité : (ku) · v = k(u · v) et (u + v) · w = u · w + v · w
Orthogonalité
u et v sont orthogonaux ⇔ u · v = 0.
Identités remarquables vectorielles
- |u + v|² = |u|² + 2 u · v + |v|²
- |u − v|² = |u|² − 2 u · v + |v|²
- (u + v) · (u − v) = |u|² − |v|²
Théorème d'Al-Kashi
Dans un triangle ABC, en notant a = BC, b = AC, c = AB et les angles aux sommets correspondants :
a² = b² + c² − 2 b c · cos(Â)
C'est la généralisation du théorème de Pythagore (cas  = π/2 → cos = 0).
Exemple
u (3 ; −2) et v (4 ; 6) en repère orthonormé. - Produit scalaire : u · v = 3×4 + (−2)×6 = 12 − 12 = 0. - Donc u et v sont orthogonaux. - |u| = √(9 + 4) = √13, |v| = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
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