👑

Loi binomiale — Défi (Niveau 3)

🔢 Mathématiques ⭐⭐⭐ Difficile 10 questions 🎮 0 parties

P(X = k) pour B(n, p) avec n ∈ [5, 8] : calculs plus délicats avec coefficients binomiaux et fractions.

📋 Comment jouer :

10 questions dynamiques de niveau bac. Pose tes calculs et simplifie en cours de route.

📖 Loi binomiale — l'essentiel — révise avant de jouer

Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : « succès » (proba p) ou « échec » (proba 1 − p). La VA X qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée B(p).

E(X) = p
V(X) = p(1 − p)

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p.

La VA X qui compte le nombre de succès suit alors la loi binomiale B(n, p).

Coefficients binomiaux

Le coefficient binomial C(n, k) (parfois noté ⁽ⁿₖ⁾) compte le nombre de façons de choisir k succès parmi n épreuves :

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Quelques valeurs : C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, 1) = C(n, n−1) = n.

Triangle de Pascal :

n = 0 :              1
n = 1 :            1   1
n = 2 :          1   2   1
n = 3 :        1   3   3   1
n = 4 :      1   4   6   4   1
n = 5 :    1   5  10  10   5   1

Relation de Pascal : C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k−1).

Loi binomiale

Si X suit B(n, p), pour tout k ∈ {0, 1, …, n} :

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Espérance et variance

Si X ~ B(n, p) : - E(X) = n · p - V(X) = n · p · (1 − p) - σ(X) = √(np(1 − p))

Astuce : « au moins un succès »

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ

(Beaucoup plus rapide que de sommer P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = n).)

Exemple

On lance 4 fois un dé équilibré et on note X le nombre de 6 obtenus. Alors X ~ B(4, 1/6). - P(X = 1) = C(4, 1)·(1/6)·(5/6)³ = 4·(125/1296) = 500/1296 ≈ 0,386. - E(X) = 4 × 1/6 = 2/3 ≈ 0,67. - V(X) = 4 × 1/6 × 5/6 = 20/36 = 5/9.

▶️ Lancer le jeu !

💡 Crée un compte pour sauvegarder tes points et gagner des badges !