Variables aléatoires — Cours & Compréhension
10 QCM pour vérifier que tu maîtrises la définition d'une loi, les formules de E(X), V(X), σ(X) et la linéarité.
Lis bien chaque énoncé. Attention aux formules : E est linéaire, V est quadratique en a.
📖 Variables aléatoires — l'essentiel — révise avant de jouer
Loi de probabilité d'une VA discrète
Une variable aléatoire X associe à chaque issue d'une expérience un nombre. Si X prend les valeurs x₁, …, xₙ, sa loi est donnée par le tableau des P(X = xᵢ).
Règle : Σᵢ P(X = xᵢ) = 1.
| xᵢ | x₁ | x₂ | … | xₙ |
|---|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | p₁ | p₂ | … | pₙ |
Espérance
L'espérance de X est la « valeur moyenne » de X au sens des probas : E(X) = Σᵢ xᵢ · P(X = xᵢ).
Interprétation : si on répète l'expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs obtenues s'approche de E(X) (loi des grands nombres).
Variance et écart-type
La variance mesure la dispersion autour de l'espérance : V(X) = E(X²) − E(X)² (formule de König)
avec E(X²) = Σᵢ xᵢ² · P(X = xᵢ). Elle se calcule aussi par V(X) = Σᵢ (xᵢ − E(X))² · P(X = xᵢ).
L'écart-type est : σ(X) = √V(X). Il est exprimé dans la même unité que X.
Linéarité
Pour tous réels a, b : - E(aX + b) = a · E(X) + b - V(aX + b) = a² · V(X) (le décalage b ne change pas la variance) - σ(aX + b) = |a| · σ(X)
Exemple
Soit X la variable aléatoire de loi :
| xᵢ | −1 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
- E(X) = −1×0,3 + 0×0,5 + 2×0,2 = −0,3 + 0,4 = 0,1.
- E(X²) = 1×0,3 + 0×0,5 + 4×0,2 = 0,3 + 0,8 = 1,1.
- V(X) = 1,1 − 0,1² = 1,09.
- σ(X) = √1,09 ≈ 1,04.
Pour Y = 2X + 5 : E(Y) = 2×0,1 + 5 = 5,2 et V(Y) = 4×1,09 = 4,36.
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