Suites — Cours & Compréhension

Définition

Une suite (uₙ) est une fonction de ℕ dans ℝ : à chaque entier n, on associe un réel uₙ. On distingue (uₙ) (la suite vue globalement) et uₙ (le terme de rang n, un nombre).

Suite arithmétique : on ajoute toujours r

(uₙ) est arithmétique de raison r s'il existe r tel que uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout n.

• Terme général : uₙ = u₀ + n × r
• Sens de variation : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0.
• Somme : u₀ + u₁ + … + uₙ = (n + 1)(u₀ + uₙ)/2.

Suite géométrique : on multiplie toujours par q

(uₙ) est géométrique de raison q s'il existe q tel que uₙ₊₁ = q × uₙ pour tout n (avec uₙ ≠ 0).

• Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ
• Sens de variation (avec u₀ > 0) : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1.
• Somme géométrique : 1 + q + q² + … + qⁿ = (qⁿ⁺¹ − 1)/(q − 1) pour q ≠ 1.

Modèles discrets

• Évolutions linéaires (épargne à intérêts simples, distance parcourue à vitesse constante) → arithmétique.
• Évolutions à pourcentage constant (intérêts composés, perte de valeur d'un bien, croissance d'une population à taux fixe) → géométrique de raison 1 + t/100 (hausse) ou 1 − t/100 (baisse).

Exemple

Un capital de 1 000 € placé à 4 % par an : Cₙ₊₁ = 1,04 × Cₙ. C'est une suite géométrique avec C₀ = 1 000 et q = 1,04. Au bout de 10 ans : C₁₀ = 1 000 × 1,04¹⁰ ≈ 1 480 €.