Probabilités conditionnelles — Cours & Compréhension

Probabilité conditionnelle

Pour deux événements A et B avec P(B) > 0, la probabilité de A sachant que B est réalisé est :

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

On la note aussi P_B(A). On en déduit : P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A).

Arbres pondérés

Sur un arbre représentant une expérience : - Sur les branches issues d'un même nœud, les probabilités somment à 1. - La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités le long des branches.

Ex. : P(A ∩ B) est le produit P(A) · P(B | A) le long du chemin « A puis B ».

Formule des probabilités totales

Si {B, B̄} forme une partition de l'univers (P(B) > 0 et P(B̄) > 0), alors pour tout événement A :

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄) = P(B) · P(A | B) + P(B̄) · P(A | B̄)

Plus généralement, pour une partition {B₁, …, Bₙ} : P(A) = Σ P(Bᵢ) · P(A | Bᵢ).

Indépendance

A et B sont indépendants si l'un n'apporte aucune information sur l'autre :

A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

⇔ P(A | B) = P(A) (lorsque P(B) > 0) ⇔ P(B | A) = P(B) (lorsque P(A) > 0).

⚠️ Ne pas confondre indépendants (multiplication) et incompatibles (disjoints, A ∩ B = ∅).

Si A et B sont indépendants : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) · P(B).

Exemple

Une urne contient 60 % de boules rouges et 40 % de boules bleues. Les boules rouges sont marquées dans 30 % des cas, les bleues dans 50 %. On tire une boule. - P(R) = 0,6, P(M | R) = 0,3, P(M | B) = 0,5. - Probas totales : P(M) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,5 = 0,18 + 0,20 = 0,38. - Conditionnelle inverse : P(R | M) = P(R ∩ M) / P(M) = 0,18 / 0,38 = 9/19 ≈ 0,47.