Dérivation — Défi (Niveau 3)
Quotients, fonctions composées (ax + b)ⁿ, étude des variations à partir de f'.
10 questions dynamiques de niveau bac. Pose tes calculs.
📖 Dérivation — l'essentiel — révise avant de jouer
Nombre dérivé et tangente
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite (quand h → 0) du taux d'accroissement : f'(a) = lim (f(a + h) − f(a)) / h.
Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
L'équation de la tangente au point d'abscisse a est : y = f'(a) (x − a) + f(a).
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ (n ∈ ℕ*) | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
Règles de dérivation
Pour deux fonctions u et v dérivables et k constante :
- (u + v)' = u' + v'
- (k·u)' = k·u'
- (u·v)' = u'·v + u·v'
- (u/v)' = (u'·v − u·v') / v² (avec v ≠ 0)
- (f(ax + b))' = a · f'(ax + b)
Lien dérivée ↔ variations
Sur un intervalle I : - Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. - Si f'(x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I. - Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.
Un point où f'(x) = 0 et où f' change de signe est un extremum local (max ou min).
Exemple
Soit f(x) = x² − 4x + 1. - Dérivée : f'(x) = 2x − 4. - Tangente en a = 3 : f(3) = 9 − 12 + 1 = −2 et f'(3) = 2 ; donc y = 2(x − 3) − 2 = 2x − 8. - Variations : f'(x) > 0 ⇔ x > 2 ; donc f est décroissante sur ]−∞ ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[, avec un minimum en x = 2.
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